土耳其IMO代表队选拔考试中文

1.求全数素数

,使得

2.求全数函数

,使得对恣意正有理数

,均有

3.在

中,

为实质,内切圆与

别离切于点

.设

为过

的直线,点

在

上的投影别离为

.解释:

共线.

4.三个圆

,

,

在直线

同侧,

,

别离与

切于点

,别离与

切于点

.已知

,

不缔交,且它们的半径也不不异.过

的圆

与

交于点

.设

为

对于

的对称点.求证:

共圆.

5.在圆周上取

个点,使得恣意两个相邻点的间隔不异.此刻要在此中取

段弧,使得每段弧的端点均为这

个点之一,且这

段弧的长度互不不异,且这

段弧互不包括.求

的最大值.

6.对整系数多项式

与素数

,若不存在

使得

,就称

"排斥"

.是不是存在一个五次的整系数多项式

,刚好只"排斥"一个素数,且不含有理根?

7.已知

为正实数,求下式的最小值:

8.在

中,

为实质,

.设

,

,

的垂心别离为

.直线

与

交于点

,过

做

的垂线,与

交于点

.宛如的界说

.求证:

9.对恣意一个由

个顶点组成的无环图

,咱们能够从中抉择

个顶点,使得恣意一个当抉择的点,最多与

个当抉择的点之间有边贯串.求

的最大值.

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